Как пишется: гуляем или гуляим, гуляешь или гуляишь? Почему?

Правильно пишется "гуляем" и "гуляешь". Глагол "гулять" относится к первому спряжению (оканчивается на -ять). Личные окончания глаголов первого спряжения: -у(-ю), -ешь, -ет, -ем, -ете, -ут(-ют).

Ко второму спряжению относятся:

– глаголы в неопределённой форме оканчивающиеся на -ить (кроме брить, стелить);

– 7 глаголов на -еть: смотреть, видеть, ненавидеть, зависеть, терпеть, обидеть, вертеть;

– 4 глагола на -ать: слышать, дышать, гнать, держать, а также все приставочные глаголы, образованные от них.