Чему равен sin 12 градусов?

Есть стандартный способ вычисления значений синусов и косинусов угла в 36°.

Исходное положение: sin(х)=sin(180°-х).

Исходя из этого: sin(72°)=sin(108°)

Обозначим угол 36° как а. Тогда 72°=2а, 108°=3а.

применяем формулы: sin(2a)=2sin(a)*cos(­a). sin(3a)=3sin(a)-4sin­^3(a)=sin(a)*(3-4sin^­2(a))=

=sin(a)*(3-4(1-cos^2SHY)) = sin(a)*(-1+4cos^2(a)­)=sin(a)*(4cos^2(a)-1­).

При наших обозначениях получаем: 2sin(a)*cos(a)=sin(a­)*(4cos^2(a)-1), сокращаем на sin(a), получаем уравнение второй степени: 2cos(a)=4cos^2(a)-1 и решаем его.

4cos^2(a)-2cos(a)-1=­0;

cos^2(a)-0,5cos(a)-0­,25=0;

cos(a)=0,25±√0,25^2+­0,25);

cos(a)=(1±√5)/4;

cos(36°)=(1+√5)/4/

Теперь можно вычислить синус и косинус 18° как синус и косинус (а/2):

sin(18°)=√((1-(1+√5)­/4)/2)=√((3-√5)/8)=√(­6-2√5)/4;

cos(18°)=√((1+(1+√5)­/4)/2)=√((5+√5)/8)=√(­10+2√5)/4.

Ну и дальше: sin(12°)=sin(30°-18°­)=sin(30°)*cos(18°)-c­os(30°)*sin(18°)=

=0,5*√(10+2√5)/4-(√3­/2)*√(6-2√5)/4=√(10+2­√5)/8-√(18-6√5)/8=(√(­10+2√5)-√(18-6√5))/8.

Итак: sin(12°)=(√(10+2√5)-­√(18-6√5))/8=0,20791.