Чем отличается эпиграмма от афоризма?

Прежде всего тем, что эпиграмма это стих, а афоризм это проза.

Кроме того, афоризмы (чаще всего) намного более лаконичны что неудивительно - написать стих в одну строку довольно проблематично.

Эпиграмма несёт в себе иронию, колкость, сарказм - афоризмы же далеко не всегда ироничны или саркастичны, зачастую афоризм представляет из себя банальную констатацию факта или менторское нравоучение без тени юмора.