Как решить задачу про сумму цифр числа?

Для начала отметим, что сумма цифр числа, получившегося в результате сложения двух других чисел, меньше либо равна суммы цифр этих двух чисел. Чтобы было нагляднее, можно записать это утверждение в виде формулы.

S(С) = S(А + В) ≤ S(А) + S(В).

Ведь при a(i) + b(i) < 10, c(i) = a(i) + b(i), если а(i-1) + b(i-1) < 10, либо c(i) = a(i) + b(i) + 1, если а(i-1) + b(i-1) ≥ 10. Но в случае, если а(i-1) + b(i-1) ≥ 10, с(i-1) ≤ а(i-1) + b(i-1) - 9, и тогда с(i) + c(i-1) = а(i) + b(i) + 1 + а(i-1) + b(i-1) - 9 < а(i) + b(i) + а(i-1) + b(i-1). Ну а при а(i) + b(i) ≥ 10, с(i) ≤ а(i) + b(i) - 9 < а(i) + b(i).

Применив индукцию, получаем

S(A1 + A2 + ... + An) ≤ S(A1) + S (A2) + ... S (An), и как частный случай

S(n*A) ≤ n*S(A), из чего также следует

S(A*B) ≤ S(A)*S(B).

Как уже было отмечено в пояснении к вопросу, 8 * 125 = 1000, то есть S(8*125) = S(1000) = 1. При этом S(А) = S(1000*А) = S(125*8*А), что меньше либо равно S(125)*S(8*А) = 8*S(8*А). Таким образом, получили

S(A) ≤ 8*S(8*A),

то есть сумма цифр натурального числа при его умножении на 8 максимально может увеличиться в восемь раз.

А учитывая, что

S(8*A) ≥ S(A)/8,

и уменьшиться такая сумма может не более чем в восемь раз.