Как доказать то, что множество простых чисел бесконечно?

Такое доказательство (одно из существующих) дал ещё Евклид, и основано оно как раз исследовании произведения всех простых чисел.

Ну ещё раз: пусть простых чисел - конечное количество, и пусть Р - произведение всех простых чисел, от первого до n-го. И рассмотрим число Р+1.

Возможны два варианта.

Либо Р+1 - простое число, но тогда мы сразу приходим к противоречию с исходным предположением о конечности множества простых чисел. Оказывается - ни фига, есть ещё одно...

Либо Р+1 - не простое число, но тогда его можно разложить на простые множители, которые, по предположению, должны быть из нашего конечного набора. Ну пусть среди таких множителей есть и число k. Коль скоро и Р делится на k (Р ведь - произведение всех-всех-всех простых чисел, включая k), и Р+1 делится на k, то на это же k должна делиться и разность двух чисел. Только вот разность эта равна 1, а 1 не может делиться ни на что, если мы собираемся оставаться в рамках целых чисел.

Значит, предположение о конечности набора простых чисел неверное. Вся любовь.