Могут ли ученика оставить на второй год по желанию родителей?

Теоретически "да", тем более если у ученика ярко выраженная не успеваемость. Но по моим наблюдением в настоящее время "второй год" это нечто экстраординарное, а второгодник - практически исчезнувшие вид. И не потому, что все дети стали хорошо усваивать материал и не пропускают занятия, а потому что в нашем государстве статистика важнее человека, вот и стараются предполагаемых второгодник либо "перетащить" в следующий класс, либо сплавить в другую школу. Качество знаний у ребёнка в данном случае никого не интересует.