Как правильно пишется четырех дневная или четырехдневная?

Прежде всего необходимо выяснить, какой частью речи является предложенное слово.

А это просто: оно обозначает признак предмета, отвечая на вопрос "какая?"

Следовательно, перед нами имя прилагательное.

Рассмотрим, как оно образовано. А образовано оно из сочетания двух слов -- числительного "четыре" и существительного "день". Получается сложное имя прилагательное.

В этом сочетании одно слово связано со вторым по способу управления.

Осталось вспомнить правило, которое гласит, что сложные прилагательные, образованные из сочетаний слов, связанных по способу подчинения (будь то согласование, управление или примыкание), пишутся слитно.

Таким образом, вывод: заданное сложное прилагательное пишется в одно слово -- четырёхдневная.

Видимо, вопрос вызван дискуссиями по поводу введения в нашей стране четырёхдневной рабочей недели.