Бережок, бережём. Это однокоренные слова? Почему?

Существительное "бережок" - это уменьшительно-ласкат­ельное от однокоренного "берег". При образовании в корне слова произошло чередование конечного согласного: береГ - береЖок - Г // Ж (аналогично друГ - друЖок, сапоГ - сапоЖок).

Запоминаем: в слове "бережок" корень "береж-".

Следующее слово - "бережём" относится к другой части речи, глаголу. Образовано от инфинитива "беречь", в котором конечное -ЧЬ входит в состав корня. При образовании различных форм глагольных в корне также происходит чередование: береЖём, береГут, береГли.

Корень такой же - береж-.

Но однокоренными (родственными) слова эти назвать нельзя, так как имеют они совершенно разное лексическое значение.

Эти и подобные им корни, которые звучат и пишутся одинаково, но не имеют ничего общего в значении лексическом, называются омонимичными (корни-омонимы).

Ещё примеры таких корней:

медный (медь) - медовый (мёд);

дорОга (путь) - дорогая (о цене);

водить (транспортное средство) - водичка (вода)