Можно ли закрепить дверь, не делая коробку (см. фото)?

Можно сделать всё, что угодно. Сделать притвор в сарай не сложно. В вашем случае необходимо решить в какую сторону дверь будет открываться. Если наружу, то это гораздо проще. Делаете шит больше проёма и навешиваете его на петли. Шит можно скрепить диагоналями и по контуру проема набить рейки. Но необходимо, что бы дверь прилегала плотней к проёму. А это самое сложное, ведь ваши доски не имеют ровную поверхность и касаться дверь-шит будет в нескольких точка. Если вас, конечно, не интересует герметичность и величина щелей.

А если дверь будет открываться внутрь, то это сложней. Уже важно будет ровные вертикальные доски и толщина двери должна быть толщиной в ваши вертикальные доски.

Вообщем заморочек будет достаточно. За 1800 рублей дверь не стоит вешать без коробки. Проще купить профиль и сделать самому коробку - это будет стоить совсем недорого, но это будет дверь, а не калитка в садовый нужник.