Как правильно пишется: разозлиться­ или разозлится­?

Оба варианта верны, но в различных случаях.

Давайте просто вспомним правило. Это глагол и чтобы проверить написание мягкого знака, нужно к нему задать вопрос. Если вопрос будет содержать мягкий знак, то и глагол должен его содержать.

Пример №1

1 Не выходи на улицу без теплого головного убора, а то мама ( что сделает?) разозлится.

В данном случае ь в вопросе отсутствует, значит и глагол мы написали без него.

2 Мы просто вообще не ожидали, что он может так сильно ( что сделать?) разозлиться.

То есть, мы видим, что оба написания возможны. Надо лишь видеть весь контекст или предложение целиком , чтобы правильно задать вопрос к этому глаголу.