Что заставило южнорусских князей объединиться с половцами против монголов?

Прежде всего потому, что они - родственники. В частности, хан Котян - зять Мстислава Галицкого (Удатного), одного из сильнейших русских князей.

Во-вторых, половецкие степи - сфера влияния Киева. А любому правителю неинтересно появление нового сильного противника, нарушающего сложившееся равновесие.

В-третьих, Котян пригрозил, что монголы захватят и киевскую землю.

В-четвертых, Котян заплатил... то есть, хорошо одарил Мстислава Галицкого.

Наконец, в-пятых, поход - это возможность пограбить. Что и делают русские войска в начале кампании, когда одерживают первые победы.

Как-то так.