На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки P и Q так, что AP:PB = DQ:QA = 1:2. Докажите, что прямая CP перпендикулярна прямой BQ.

Пусть прямые CP и BQ пересекаются в точке O. Треугольники BAQ и CBP равны по двум катетам: BC=AB как стороны квадрата, и BP=AQ=(2/3)AB. Значит,  ∠ABQ=∠BCP=х. Значит, из треугольника BPC получаем ∠BPС=90°-х, а из треугольника BPO получаем ∠BPС=180°-х-∠BOP, т.е. 90°-х=180°-х-∠BOP, откуда ∠BOP=90°, что и требовалось.